5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна \(8\sqrt{2}\) дм и образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть диагональ осевого сечения цилиндра равна \(d = 8\sqrt{2}\) дм, и угол между диагональю и плоскостью основания равен \(45^\circ\). Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, диагональ которого является диагональю сечения.

Так как угол между диагональю и основанием равен \(45^\circ\), то второй угол в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, высотой и диаметром основания, тоже равен \(45^\circ\). Следовательно, этот прямоугольник является квадратом, и высота цилиндра равна диаметру его основания, то есть \(h = 2r\), где \(r\) - радиус основания цилиндра.

Тогда \(d = h\sqrt{2} = 2r\sqrt{2}\), откуда \(2r = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8\) дм. Значит, \(h = 8\) дм, и \(r = 4\) дм.

Площадь полной поверхности цилиндра находится по формуле:

$$S = 2\pi r (r + h) = 2\pi \cdot 4 (4 + 8) = 2\pi \cdot 4 \cdot 12 = 96\pi$$

Ответ: \(96\pi\) дм\(^2\)