3. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 5 см, сторона основания 6 см. Найти боковое ребро.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\), где \(S\) - вершина, \(ABCD\) - квадрат в основании, \(SO\) - высота пирамиды, \(SO = 5\) см, \(AB = BC = CD = DA = 6\) см.

Боковое ребро - это, например, \(SA\).

Так как пирамида правильная, то основание высоты \(O\) является центром квадрата \(ABCD\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(SOA\). В нём \(SO = 5\) см. Найдем \(OA\).

\(OA = \frac{1}{2}AC\). Диагональ квадрата \(AC\) можно найти по формуле \(AC = a\sqrt{2}\), где \(a\) - сторона квадрата. В нашем случае \(AC = 6\sqrt{2}\) см.

Тогда \(OA = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) см.

Теперь по теореме Пифагора найдем \(SA\):

$$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{5^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 + 18} = \sqrt{43}$$.

Ответ: \(\sqrt{43}\) см