3. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны прямоугольника, а $$d$$ - его диагональ. По условию, $$d = a + 6$$ и $$d = b + 3$$. Тогда $$a = d - 6$$ и $$b = d - 3$$. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = d^2$$. Подставим выражения для $$a$$ и $$b$$: $$(d - 6)^2 + (d - 3)^2 = d^2$$ $$d^2 - 12d + 36 + d^2 - 6d + 9 = d^2$$ $$d^2 - 18d + 45 = 0$$ $$D = (-18)^2 - 4(1)(45) = 324 - 180 = 144$$ $$d = \frac{-(-18) \pm \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{18 \pm 12}{2}$$ $$d_1 = \frac{18 + 12}{2} = 15$$, $$d_2 = \frac{18 - 12}{2} = 3$$ Так как $$d > 6$$ и $$d > 3$$, то $$d = 15$$. $$a = d - 6 = 15 - 6 = 9$$ $$b = d - 3 = 15 - 3 = 12$$ Ответ: стороны прямоугольника 9 см и 12 см.