Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину боковой стороны, если высота трапеции равна 18.

Решение:

1. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC || AD. Диагональ AC образует с основанием AD угол \( \angle CAD = 45° \).
2. Проведем высоту BH к основанию AD. В прямоугольном треугольнике ABH, \( \angle BAH = \angle CAD = 45° \) (так как они являются частью большего угла или равны ему по условию).
3. В прямоугольном треугольнике ABH, \( \angle AHB = 90° \).
4. Сумма углов в треугольнике ABH равна 180°. \( \angle ABH = 180° - 90° - 45° = 45° \).
5. Так как \( \angle BAH = \angle ABH = 45° \), то треугольник ABH является равнобедренным прямоугольным треугольником.
6. Это означает, что \( AH = BH \).
7. По условию, высота трапеции BH = 18. Следовательно, \( AH = 18 \).
8. Боковая сторона AB является гипотенузой в прямоугольном треугольнике ABH. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
9. \( AB^2 = 18^2 + 18^2 = 324 + 324 = 648 \).
10. \( AB = \sqrt{648} = \sqrt{324 \cdot 2} = 18\sqrt{2} \).

Ответ: \( 18\sqrt{2} \).