Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 30°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 8 и 3.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC || AD. Диагональ AC образует с основанием AD угол \( \angle CAD = 30^{\circ} \). Основания равны \( BC = 3 \) и \( AD = 8 \).

Проведём высоту CH из вершины C на основание AD. В равнобедренной трапеции основания и диагонали образуют равные углы с боковыми сторонами.

В прямоугольном треугольнике ACH, \( AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \).

В треугольнике ACH, \( \angle CAH = 30^{\circ} \).

Используем тангенс угла:

\( \tan(\angle CAH) = \frac{CH}{AH} \)

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{CH}{2.5} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CH}{2.5} \)

\( CH = \frac{2.5}{\sqrt{3}} = \frac{2.5\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{6} \).

Высота трапеции равна \( CH \).

Ответ: \( \frac{5\sqrt{3}}{6} \).