Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 60°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 3 и 7.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC || AD. Диагональ AC образует с основанием AD угол \( \angle CAD = 60^{\circ} \). Основания равны \( BC = 3 \) и \( AD = 7 \).

Проведём высоту BH из вершины B на основание AD. В равнобедренной трапеции основания и диагонали образуют равные углы с боковыми сторонами. Также, проведём высоту CF из вершины C на основание AD.

В прямоугольном треугольнике ACH, \( AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2 \).

В треугольнике ACH, \( \angle CAH = 60^{\circ} \).

Используем тангенс угла:

\( \tan(\angle CAH) = \frac{CH}{AH} \)

\( \tan(60^{\circ}) = \frac{CH}{2} \)

\( \sqrt{3} = \frac{CH}{2} \)

\( CH = 2\sqrt{3} \).

Высота трапеции равна \( CH \).

Ответ: \( 2\sqrt{3} \).