5. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть основание треугольника равно $$a = 12$$ см, а боковые стороны равны $$b$$. Периметр $$P = a + 2b = 32$$ см. Тогда $$12 + 2b = 32$$, откуда $$2b = 20$$, и $$b = 10$$ см. Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-b)}$$, где $$p$$ - полупериметр, $$p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ см. $$S = \sqrt{16(16-12)(16-10)(16-10)} = \sqrt{16 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6} = \sqrt{2304} = 48$$ см$$^2$$. Радиус вписанной окружности $$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$$ см. Ответ: 3 см