В треугольник вписана окружность. Углы между радиусами окружности, проведенными в точки касания, относятся как 2:3:4. Найдите углы треугольника.

Пусть углы между радиусами равны $$2x$$, $$3x$$ и $$4x$$. Сумма углов, образованных радиусами, проведенными в точки касания, равна $$360^circ$$, так как они образуют полный оборот вокруг центра вписанной окружности.

Составим уравнение:

$$2x + 3x + 4x = 360$$

Решаем уравнение:

$$9x = 360$$

$$x = 40$$

Тогда углы равны:

$$2x = 2 cdot 40 = 80^circ$$

$$3x = 3 cdot 40 = 120^circ$$

$$4x = 4 cdot 40 = 160^circ$$

Углы треугольника можно найти, зная углы между радиусами, проведенными в точки касания. Угол треугольника, противолежащий стороне, к которой проведены радиусы, равен:

$$\alpha = \frac{180 - \text{угол между радиусами}}{2}$$

Тогда углы треугольника равны:

$$\angle A = \frac{180 - 80}{2} = 50^circ$$

$$\angle B = \frac{180 - 120}{2} = 30^circ$$

$$\angle C = \frac{180 - 160}{2} = 10^circ$$

Проверим, что сумма углов треугольника равна $$180^circ$$:

$$50^circ + 30^circ + 10^circ = 90^circ$$

Что-то пошло не так, надо пересчитать. Углы между радиусами, проведенными в точки касания, и сторонами треугольника, образуют прямоугольные треугольники. Вспомним, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Значит, найденные углы - это половины углов треугольника.

Тогда углы треугольника равны:

$$\angle A = 180^circ - 80^circ = 100^circ$$

$$\angle B = 180^circ - 120^circ = 60^circ$$

$$\angle C = 180^circ - 160^circ = 20^circ$$

Проверим, что сумма углов треугольника равна $$180^circ$$:

$$100^circ + 60^circ + 20^circ = 180^circ$$

Ответ: Углы треугольника равны $$100^circ$$, $$60^circ$$ и $$20^circ$$.