5. Диагональ трапеции ABCD делит ее на два прямоуголь- ных равнобедренных треугольника. Найдите среднюю линию трапеции, если S = 25 см².

5. Диагональ трапеции ABCD делит ее на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Найти среднюю линию трапеции, если $$S_{ABC} = 25$$ см².

Решение:

B ___Прямой угол___ C
|                   /
|                  /  Равнобедренный
A|_________________/D
 Прямой угол     
Равнобедренный

1. $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} BC^2 = 25$$ см².
2. $$BC^2 = 50$$ см².
3. $$BC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ см.
4. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC = $$5\sqrt{2}$$ см.
5. Так как треугольник ACD равнобедренный, то AD = CD.
6. По теореме Пифагора для треугольника ACD: $$AC^2 + CD^2 = AD^2$$.
7. $$AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$$ см².
8. $$50 + CD^2 = AD^2$$. Так как CD = AD, то $$50 + CD^2 = CD^2$$ - неверно.

В условии задачи ошибка. Треугольники ABC и ACD - прямоугольные и равнобедренные. Из этого следует, что угол BAC = углу BCA = углу DAC = углу ADC = 45 градусам. Следовательно, угол BAD = 90 градусов, а угол BCD = 90 градусов. Значит ABCD - квадрат, а не трапеция. Поэтому, примем, что диагональ трапеции делит ее на два прямоугольных треугольника, при этом треугольник ABC-равнобедренный. Площадь треугольника ABC = 25. Надо найти среднюю линию трапеции.

B ____Прямой угол____ C
|                     \
|                      \
A|______________________\D

Опустим высоту CH на основание AD. Пусть высота СH = х, тогда АВ=СH = x. Так как треугольник АВС равнобедренный, то АВ = ВС = х. Тогда площадь треугольника АВС = 0,5 * AВ * ВС = 0,5 * x * x = 0,5 * х^2. 0,5 * х^2 = 25. х^2 = 50. x = корень из 50 = 5 * корень из 2.

Тогда АВ = ВС = 5 * корень из 2. Рассмотрим треугольник АСD. По теореме Пифагора АD^2 = АC^2 + CD^2. AD^2 = (5 * корень из 2)^2 + CD^2 = 50 + CD^2. Пусть СD = y. Тогда АD^2 = 50 + y^2. В трапеции АВСD высота равна АВ, т.е. х = 5 * корень из 2. Но этой информации недостаточно, чтобы найти среднюю линию трапеции. Требуется дополнительная информация. Например, площадь трапеции.

Ответ: недостаточно данных