17. Диагонали АС и BD параллелограмма ABCD пере- секаются в точке O, AC = 12, BD = 20, АВ = 7. Найдите В DO.

Решение:

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, следовательно:

\[AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{20}{2} = 10\]

2. Рассмотрим треугольник ABO. Применим теорему косинусов для угла \(\angle AOB\):

\[AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot cos(\angle AOB)\] \[7^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot cos(\angle AOB)\] \[49 = 36 + 100 - 120 \cdot cos(\angle AOB)\] \[120 \cdot cos(\angle AOB) = 36 + 100 - 49\] \[120 \cdot cos(\angle AOB) = 87\] \[cos(\angle AOB) = \frac{87}{120} = \frac{29}{40}\]

3. \(\angle AOB\) и \(\angle AOD\) - смежные, значит, их сумма равна 180 градусам:

\[\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB\] \[cos(\angle AOD) = cos(180^\circ - \angle AOB) = -cos(\angle AOB) = -\frac{29}{40}\]

4. Применим теорему косинусов для треугольника AOD:

\[AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 \cdot AO \cdot OD \cdot cos(\angle AOD)\] \[AD^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \left(-\frac{29}{40}\right)\] \[AD^2 = 36 + 100 + 360 \cdot \frac{29}{40}\] \[AD^2 = 136 + 6 \cdot 29 = 136 + 174 = 310\] \[AD = \sqrt{310}\]

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AD = BC, AB = CD.

5. Рассмотрим треугольник BCD. Применим теорему косинусов:

\[CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot cos(\angle CDB)\]

Нам нужно найти DO, которое равно половине BD, то есть 10.

Ответ: 10