134. Диагонали АС и BD трапеции АBCD c основаниями ВС и AD пересекаются в точке 0, BC=6, AD=13, AC=38. Найдите АО.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Они подобны по двум углам ( углы BOC и DOA равны как вертикальные, углы BCO и DAO равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{6}{13}$$

Пусть BO = 6x, тогда OD = 13x. Диагональ BD = BO + OD = 6x + 13x = 19x.

Аналогично, треугольники BOC и DOA подобны. Следовательно, имеем пропорцию:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{13}{6}$$

Пусть AO = 13y, тогда OC = 6y. Диагональ AC = AO + OC = 13y + 6y = 19y. По условию AC = 38. Следовательно,

$$19y = 38$$ $$y = 2$$

Тогда AO = 13y = 13 * 2 = 26.

Ответ: 26