136. Диагонали АС и BD трапеции ABCD c основаниями ВС и AD пересекаются в точке O, BC=7, AD=9, АС=32. Найдите АО.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Они подобны по двум углам ( углы BOC и DOA равны как вертикальные, углы BCO и DAO равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{7}{9}$$

Пусть BO = 7x, тогда OD = 9x. Диагональ BD = BO + OD = 7x + 9x = 16x.

Аналогично, треугольники BOC и DOA подобны. Следовательно, имеем пропорцию:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{9}{7}$$

Пусть AO = 9y, тогда OC = 7y. Диагональ AC = AO + OC = 9y + 7y = 16y. По условию AC = 32. Следовательно,

$$16y = 32$$ $$y = 2$$

Тогда AO = 9y = 9 * 2 = 18.

Ответ: 18