135. Диагонали АС и BD трапеции ABCD c основаниями ВС и AD пересекаются в точке O, BC=2, AD=8, AC=40. Найдите АО.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Они подобны по двум углам ( углы BOC и DOA равны как вертикальные, углы BCO и DAO равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Пусть BO = x, тогда OD = 4x. Диагональ BD = BO + OD = x + 4x = 5x.

Аналогично, треугольники BOC и DOA подобны. Следовательно, имеем пропорцию:

$$\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{8}{2} = 4$$

Пусть AO = 4y, тогда OC = y. Диагональ AC = AO + OC = 4y + y = 5y. По условию AC = 40. Следовательно,

$$5y = 40$$ $$y = 8$$

Тогда AO = 4y = 4 * 8 = 32.

Ответ: 32