Диагонали параллелограмма АВСД пересекаются в точке О. Биссектриса ∠ АОД пересекает сторону АД в ее середине. Докажите, что АВСД – прямоугольник.

Доказательство:

1. Пусть биссектриса ∠AOD пересекает AD в точке K. Так как AK = KD по условию, то OK - медиана треугольника AOD.
2. Так как OK - биссектриса и медиана треугольника AOD, то треугольник AOD равнобедренный, и AO = OD.
3. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то AO = OC и BO = OD. Следовательно, AO = OC = BO = OD.
4. Значит, AC = BD, то есть диагонали параллелограмма равны.
5. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.