Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, ∠ABO = 36°. Найдите ∠AOD.

Рассмотрим прямоугольник ABCD, где диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что ∠ABO = 36°.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, AO = BO. Следовательно, треугольник ABO равнобедренный с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, ∠BAO = ∠ABO = 36°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда, в треугольнике ABO:

$$∠AOB = 180° - (∠BAO + ∠ABO) = 180° - (36° + 36°) = 180° - 72° = 108°$$

∠AOD и ∠AOB - смежные углы, а сумма смежных углов равна 180°.

$$∠AOD = 180° - ∠AOB = 180° - 108° = 72°$$

Ответ: ∠AOD = 72°