2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке 0, АС = 16 см. На стороне АВ взята точка К так, что пря- мая ОК перпендикулярна АВ и ОК = 4√3 см. Найдите сто- рону ромба и вторую диагональ.

$$\triangle AOK$$: $$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$$ см.

Пусть сторона ромба равна $$x$$ см, тогда $$AB = x$$ см.

В прямоугольном $$\triangle AOK$$ по теореме Пифагора:

$$AK^2 + OK^2 = AO^2$$

$$AK^2 + (4\sqrt{3})^2 = 8^2$$

$$AK^2 + 16 \cdot 3 = 64$$

$$AK^2 = 64 - 48$$

$$AK^2 = 16$$

$$AK = 4$$ см

$$\triangle ABK$$: $$BK = AB - AK = x - 4$$

$$\triangle OKB$$: $$OB^2 = BK^2 + OK^2$$

$$OB^2 = (x-4)^2 + (4\sqrt{3})^2$$

$$OB^2 = x^2 - 8x + 16 + 16 \cdot 3$$

$$OB^2 = x^2 - 8x + 16 + 48$$

$$OB^2 = x^2 - 8x + 64$$

$$\triangle AOB$$: $$AO^2 + OB^2 = AB^2$$ (по теореме Пифагора, т.к. диагонали ромба перпендикулярны)

$$8^2 + x^2 - 8x + 64 = x^2$$

$$64 + x^2 - 8x + 64 = x^2$$

$$x^2 - x^2 - 8x = -64 - 64$$

$$-8x = -128$$

$$x = 16$$ см

Значит, сторона ромба равна 16 см.

$$OB^2 = 16^2 - 8 \cdot 16 + 64 = 256 - 128 + 64 = 128 + 64 = 192$$

$$OB = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$$

$$BD = 2OB = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$ см

Ответ: Сторона ромба равна 16 см, вторая диагональ равна $$16\sqrt{3}$$ см.