1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке 0, АО = 6,8 см, СО = 8,4 см, ОВ = 5,1 см, OD = 6,3 см. Дока- жите, что АС || BD. Найдите: a) DB: AC; б) отношение периметров и площадей треугольников АОС И ДВО.

a) Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$.

Имеем:

• $$\frac{AO}{OD} = \frac{6.8}{6.3} = \frac{68}{63}$$
• $$\frac{CO}{OB} = \frac{8.4}{5.1} = \frac{84}{51} = \frac{28}{17}$$

Так как $$\frac{AO}{OD}
eq \frac{CO}{OB}$$, то треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$ не подобны, следовательно, нельзя утверждать, что $$AC \parallel BD$$.

Но, если в условии задачи $$AO = 6.8$$ см, $$CO = 8.4$$ см, $$OB = 6.3$$ см, $$OD = 5.1$$ см, то имеем:

• $$\frac{AO}{OD} = \frac{6.8}{5.1} = \frac{68}{51} = \frac{4}{3}$$
• $$\frac{CO}{OB} = \frac{8.4}{6.3} = \frac{84}{63} = \frac{4}{3}$$

Значит, $$\frac{AO}{OD} = \frac{CO}{OB}$$.

$$\angle AOC = \angle BOD$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AOC \sim \triangle DOB$$ по двум сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует равенство углов: $$\angle CAO = \angle BDO$$, а эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей AD. Значит, $$AC \parallel BD$$ (по признаку параллельности прямых).

Из подобия треугольников следует, что $$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{OD} = \frac{CO}{OB} = \frac{4}{3}$$, значит, $$\frac{DB}{AC} = \frac{3}{4}$$.

Ответ: $$\frac{DB}{AC} = \frac{3}{4}$$.

б) Так как $$\triangle AOC \sim \triangle DOB$$ и $$\frac{AO}{OD} = \frac{CO}{OB} = \frac{AC}{DB} = \frac{4}{3}$$, то коэффициент подобия $$k = \frac{4}{3}$$.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Значит, $$\frac{P_{\triangle AOC}}{P_{\triangle DBO}} = \frac{4}{3}$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Значит, $$\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle DBO}} = k^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$$.

Ответ: Отношение периметров равно $$\frac{4}{3}$$, отношение площадей равно $$\frac{16}{9}$$.