4*. В равнобедренном треугольнике MNK с основани- ем МК, равным 10 см, MN = NК = 20 см. На стороне NK лежит точка А так, что АК: AN = 1:3. Найдите длину АМ.

$$\triangle MNK$$ - равнобедренный, $$MN = NK = 20$$ см, $$MK = 10$$ см, $$AK:AN = 1:3$$, значит, $$AK = \frac{1}{4}NK = \frac{1}{4} \cdot 20 = 5$$ см.

Проведем высоту $$NH$$ к основанию $$MK$$. $$NH$$ является и медианой, значит, $$MH = HK = \frac{1}{2}MK = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$$ см.

В прямоугольном $$\triangle NHK$$ по теореме Пифагора:

$$NH^2 + HK^2 = NK^2$$

$$NH^2 + 5^2 = 20^2$$

$$NH^2 + 25 = 400$$

$$NH^2 = 400 - 25$$

$$NH^2 = 375$$

$$NH = \sqrt{375} = \sqrt{25 \cdot 15} = 5\sqrt{15}$$ см

$$\triangle ANH$$: $$AN = NK - AK = 20 - 5 = 15$$ см

$$\triangle AMK$$: по теореме косинусов:

$$AM^2 = AK^2 + MK^2 - 2 \cdot AK \cdot MK \cdot \cos{\angle K}$$

$$\cos{\angle K} = \frac{HK}{NK} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$$

$$AM^2 = 5^2 + 10^2 - 2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \frac{1}{4} = 25 + 100 - \frac{100}{4} = 125 - 25 = 100$$

$$AM = \sqrt{100} = 10$$ см

Ответ: $$AM = 10$$ см.