3. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, АВ=15 см, BD=18 см. Найдите АС и площадь ромба.

Ответ: AC = 24 см, Площадь = 216 кв. см

Шаг 1: В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, BO = BD / 2.

Шаг 2: Вычисляем BO: \[BO = \frac{18}{2} = 9 \text{ см}\]

Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. Используем теорему Пифагора для нахождения AO: \[AB^2 = AO^2 + BO^2\] \[15^2 = AO^2 + 9^2\] \[225 = AO^2 + 81\] \[AO^2 = 225 - 81\] \[AO^2 = 144\] \[AO = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\]

Шаг 4: Так как AO является половиной диагонали AC, то AC = 2 * AO. Вычисляем AC: \[AC = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см}\]

Шаг 5: Площадь ромба можно вычислить как половину произведения его диагоналей: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\]

Шаг 6: Подставляем значения AC и BD: \[S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 18\] \[S = 12 \cdot 18 = 216 \text{ см}^2\]

Ответ: AC = 24 см, Площадь = 216 кв. см