2. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. На стороне АВ взята точка К так, что прямая ОК перпенди кулярна АВ и АК = 2 см, ВК = 8 см. Найдите диагонали ромба.

Пусть сторона ромба равна a, тогда $$a = AK + BK = 2 + 8 = 10 \text{ см}$$.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, то $$AO = \frac{AC}{2}$$.

Рассмотрим треугольник $$AOK$$, он прямоугольный. Выразим косинус угла $$\angle OAK$$:

$$ \cos(\angle OAK) = \frac{AK}{AO} = \frac{2}{\frac{AC}{2}} = \frac{4}{AC} $$.

Также, в ромбе все стороны равны, следовательно, $$AB = a = 10 \text{ см}$$. Рассмотрим треугольник $$ABO$$, он также прямоугольный. Выразим косинус угла $$ \angle OAB$$:

$$ \cos(\angle OAB) = \frac{AO}{AB} = \frac{\frac{AC}{2}}{10} = \frac{AC}{20} $$.

Так как $$ \angle OAK = \angle OAB$$, то можем приравнять выражения для косинусов:

$$ \frac{4}{AC} = \frac{AC}{20} $$.

$$ AC^2 = 80 $$.

$$ AC = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ см} $$.

Теперь найдем вторую диагональ $$BD$$. В прямоугольном треугольнике $$ABO$$ применим теорему Пифагора:

$$AO^2 + BO^2 = AB^2$$.

$$BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{10^2 - (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 - 20} = \sqrt{80} = 2\sqrt{20} \text{ см}$$.

$$BD = 2 cdot BO = 4\sqrt{20} = 8\sqrt{5} \text{ см}$$.

Ответ: $$AC = 4\sqrt{5} \text{ см}$$, $$BD = 8\sqrt{5} \text{ см}$$