1. На одной стороне угла в отмечены точки А и Д. на другой Е и С так, что В-Д-А и В-Е-С, BD = 3,1 см, ВЕ - 4,2 см, ВА = 9,3 см. ВС = 12,6 см. Докажите, что AC|| ED. Найдите: a) DE: AC: б) отношение периметров и площадей треугольников ABC и DBE

a) Для доказательства, что $$AC \parallel ED$$, нужно проверить пропорциональность отрезков, которые они отсекают на сторонах угла. Проверим, выполняется ли равенство $$ \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC}$$.

$$ \frac{BD}{BA} = \frac{3.1}{9.3} = \frac{1}{3} $$.

$$ \frac{BE}{BC} = \frac{4.2}{12.6} = \frac{1}{3} $$.

Так как $$ \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} $$, то по теореме, обратной теореме Фалеса, $$AC \parallel ED$$.

Для нахождения отношения $$DE:AC$$ рассмотрим треугольники $$DBE$$ и $$ABC$$. У них угол $$B$$ общий, и $$AC \parallel ED$$, следовательно, треугольники подобны. Значит, отношение их сторон равно отношению соответствующих сторон, то есть

$$ \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{1}{3} $$.

б) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Так как треугольники $$ABC$$ и $$DBE$$ подобны с коэффициентом подобия $$k = \frac{1}{3}$$, то отношение их периметров равно $$ \frac{P_{DBE}}{P_{ABC}} = \frac{1}{3} $$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, отношение площадей треугольников $$ABC$$ и $$DBE$$ равно $$ \frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$.

Ответ: a) $$\frac{DE}{AC} = \frac{1}{3}$$, б) $$ \frac{P_{DBE}}{P_{ABC}} = \frac{1}{3}$$, $$ \frac{S_{DBE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{9}$$