4*. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = BC = = 40 см. АС = 20 см. На стороне ВС лежит точка Н так, что BH: HC=3:1. Найдите длину АН.

Пусть $$BH = 3x$$ и $$HC = x$$. Тогда $$BC = BH + HC = 3x + x = 4x$$. Так как $$BC = 40 \text{ см}$$, то $$4x = 40$$ и $$x = 10$$. Следовательно, $$BH = 3 cdot 10 = 30 \text{ см}$$, $$HC = 10 \text{ см}$$.

Для нахождения длины $$AH$$ используем теорему косинусов в треугольнике $$ABH$$. Для этого сначала найдем косинус угла $$B$$ в треугольнике $$ABC$$.

По теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 cdot AB cdot BC cdot \cos(B)$$.

$$20^2 = 40^2 + 40^2 - 2 cdot 40 cdot 40 cdot \cos(B)$$.

$$400 = 1600 + 1600 - 3200 \cos(B)$$.

$$3200 \cos(B) = 2800$$.

$$ \cos(B) = \frac{2800}{3200} = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} $$.

Теперь используем теорему косинусов в треугольнике $$ABH$$:

$$AH^2 = AB^2 + BH^2 - 2 cdot AB cdot BH cdot \cos(B)$$.

$$AH^2 = 40^2 + 30^2 - 2 cdot 40 cdot 30 cdot \frac{7}{8}$$.

$$AH^2 = 1600 + 900 - 300 \tcdot 7 = 2500 - 2100 = 400$$.

$$AH = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$$.

Ответ: $$AH = 20 \text{ см}$$