Диаметр АА, окружности перпендикулярен к хорде ВВ и пересекает её в точке С. Найдите ВВ1, если АС = 4 см, СА₁ = 8 см.

Обозначим середину хорды BB₁ точкой C. Тогда AC = 4 см и CA₁ = 8 см. Значит, AA₁ = AC + CA₁ = 4 + 8 = 12 см. Радиус окружности равен половине диаметра: R = AA₁ / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Опустим радиус OB₁ на хорду BB₁. Получим прямоугольный треугольник OCB₁, где OC = OA₁ - CA₁ = 6 - 8 = -2 см (по модулю 2 см) и OB₁ = R = 6 см. По теореме Пифагора: BC² + OC² = OB₁² BC² + 2² = 6² BC² + 4 = 36 BC² = 36 - 4 BC² = 32 BC = √32 = 4√2 см

Так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, то BB₁ = 2 * BC = 2 * 4√2 = 8√2 см.