6*. Диаметр CD окружности пересекает хорду AB в точке K, причём K – середина хорды AB. Известно, что \(\angle CAD = 34^\circ\). Найдите углы треугольника CAD.

Так как \(K\) – середина хорды \(AB\) и лежит на диаметре \(CD\), то диаметр \(CD\) перпендикулярен хорде \(AB\), то есть \(\angle AKC = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник \(AKC\). В нем \(\angle AKC = 90^\circ\) и \(\angle CAK = \angle CAD = 34^\circ\). Тогда \(\angle ACK = 180^\circ - (90^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ\). Так как \(CD\) - диаметр окружности, то \(O\) лежит на \(CD\). \(OA = OC\) как радиусы, поэтому \(\triangle AOC\) - равнобедренный, и \(\angle OAC = \angle OCA = 56^\circ\). Тогда \(\angle OAD = \angle OAC - \angle CAD = 56^\circ - 34^\circ = 22^\circ\). В треугольнике \(CAD\) мы знаем \(\angle CAD = 34^\circ\) и \(\angle ACD = 56^\circ\), тогда \(\angle ADC = 180^\circ - (34^\circ + 56^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). Ответ: \(\angle CAD = 34^\circ\), \(\angle ACD = 56^\circ\), \(\angle ADC = 90^\circ\).