1. На рисунке MK – хорда окружности с центром O. 1) Найдите \(\angle MOK\), если \(\angle OMK = 82^\circ\). 2) Найдите радиус окружности, если он на 4 см больше хорды MK, а периметр треугольника MOK равен 44 см.

1) Рассмотрим треугольник \(MOK\). Так как \(OM\) и \(OK\) – радиусы окружности, то \(OM = OK\), следовательно, треугольник \(MOK\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, \(\angle OMK = \angle OKM = 82^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому \(\angle MOK = 180^\circ - (\angle OMK + \angle OKM) = 180^\circ - (82^\circ + 82^\circ) = 180^\circ - 164^\circ = 16^\circ\). 2) Пусть радиус окружности равен \(r\), тогда длина хорды \(MK = r - 4\). Периметр треугольника \(MOK\) равен сумме длин его сторон: \(P = OM + OK + MK\). Так как \(OM = OK = r\) и \(MK = r - 4\), то \(44 = r + r + (r - 4)\). \(44 = 3r - 4\) \(3r = 48\) \(r = 16\) Таким образом, радиус окружности равен 16 см. Ответ: 1) \(16^\circ\), 2) 16 см