4. К окружности с центром O проведена касательная AB, где A – точка касания. Докажите, что треугольник AOB, если \(\angle AOB = \angle ABO\), является равнобедренным.

Так как \(AB\) - касательная к окружности с центром \(O\), то радиус \(OA\), проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть \(\angle OAB = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник \(AOB\). По условию, \(\angle AOB = \angle ABO\). Это означает, что треугольник \(AOB\) – равнобедренный (если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный). Значит, стороны, лежащие против этих углов, равны: \(OA = AB\). Что и требовалось доказать.