3. Диаметр шара равен 2м. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы и этой плоскости.

Пусть диаметр шара равен 2м, тогда радиус шара $$R = 1$$ м. Плоскость проведена через конец диаметра под углом $$45^\circ$$ к нему. Линия пересечения сферы и плоскости является окружностью. Найдем радиус этой окружности. Пусть $$d$$ - расстояние от центра шара до плоскости. Тогда $$d = R \cos 45^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ м. Радиус окружности, образованной в сечении, найдем по теореме Пифагора: $$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ м. Длина линии пересечения (окружности) равна $$2\pi r$$: $$L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \pi \sqrt{2}$$ м. Ответ: Длина линии пересечения равна $$\pi \sqrt{2}$$ м.