1. Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Раз развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, то высота цилиндра равна длине стороны квадрата. Обозначим сторону квадрата за $$a$$. Тогда по теореме Пифагора: $$a^2 + a^2 = 10^2$$ $$2a^2 = 100$$ $$a^2 = 50$$ $$a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ см. Таким образом, высота цилиндра $$h = 5\sqrt{2}$$ см, и длина окружности основания цилиндра также равна $$5\sqrt{2}$$ см. Длина окружности основания равна $$2\pi r$$, где $$r$$ - радиус основания. Следовательно: $$2\pi r = 5\sqrt{2}$$ $$r = \frac{5\sqrt{2}}{2\pi}$$ см. Площадь основания цилиндра равна $$\pi r^2$$: $$S_{осн} = \pi (\frac{5\sqrt{2}}{2\pi})^2 = \pi \frac{25 \cdot 2}{4 \pi^2} = \frac{25}{2\pi}$$ см$$^2$$. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $$a^2 = 50$$ см$$^2$$. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности и двух площадей оснований: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 50 + 2 \cdot \frac{25}{2\pi} = 50 + \frac{25}{\pi}$$ см$$^2$$. Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна $$50 + \frac{25}{\pi}$$ см$$^2$$.