2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите: a) площадь боковой поверхности конуса; б) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°.

a) Пусть высота конуса $$h = 6$$ см, а угол при вершине осевого сечения равен $$120^\circ$$. Обозначим радиус основания конуса за $$r$$, а образующую конуса за $$l$$. В осевом сечении имеем равнобедренный треугольник с углом при вершине $$120^\circ$$. Тогда углы при основании равны $$\frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. Тогда: $$\tan 30^\circ = \frac{r}{h}$$ $$r = h \tan 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$ см. По теореме Пифагора найдем образующую конуса $$l$$: $$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ см. Площадь боковой поверхности конуса равна $$\pi r l$$: $$S_{бок} = \pi r l = \pi (2\sqrt{3}) (4\sqrt{3}) = 24\pi$$ см$$^2$$. б) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен $$30^\circ$$, равна: $$S = \frac{1}{2} l^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} (4\sqrt{3})^2 \sin 30^\circ = \frac{1}{2} (16 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2} = 12$$ см$$^2$$. Ответ: а) Площадь боковой поверхности конуса равна $$24\pi$$ см$$^2$$. б) Площадь сечения равна $$12$$ см$$^2$$.