Длина вектора а равна 4, угол между векторами а и в равен 45°, а скалярное произведение а · b равно 8√2. Найдите длину вектора б.

Решение:

Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \)

Где \( |\vec{a}| \) — длина вектора \( \vec{a} \), \( |\vec{b}| \) — длина вектора \( \vec{b} \), а \( \alpha \) — угол между ними.

Подставим известные значения:

• \( 8\sqrt{2} = 4 \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(45^{\circ}) \)
• \( 8\sqrt{2} = 4 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Упростим уравнение:

• \( 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot |\vec{b}| \)

Разделим обе стороны на \( 2\sqrt{2} \):

• \( |\vec{b}| = \frac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \)
• \( |\vec{b}| = 4 \)

Ответ: 4.