4 Найти площадь фигуры, ограниченной: 1) параболой у = x² + x − 6 и осью Ох; 2) графиками функций у = x² + 1 и у = 10.

1) Площадь фигуры, ограниченной параболой $$y = x^2 + x - 6$$ и осью Ox.

Сначала найдем точки пересечения параболы с осью Ox, то есть решим уравнение:

• $$x^2 + x - 6 = 0$$
• По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -1$$, $$x_1 \cdot x_2 = -6$$
• $$x_1 = -3$$, $$x_2 = 2$$

Площадь фигуры вычисляется как интеграл:

• $$S = |\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx|$$
• $$S = |\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \Big|_{-3}^{2}|$$
• $$S = |(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6 \cdot 2) - (\frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6 \cdot (-3))|$$
• $$S = |(\frac{8}{3} + 2 - 12) - (\frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18)|$$
• $$S = |(\frac{8}{3} - 10) - (-9 + \frac{9}{2} + 18)|$$
• $$S = |(\frac{8 - 30}{3}) - (9 + \frac{9}{2})|$$
• $$S = |\frac{-22}{3} - \frac{18 + 9}{2}|$$
• $$S = |\frac{-22}{3} - \frac{27}{2}|$$
• $$S = |\frac{-44 - 81}{6}|$$
• $$S = |\frac{-125}{6}| = \frac{125}{6}$$

Ответ: Площадь равна $$\frac{125}{6}$$

2) Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $$y = x^2 + 1$$ и $$y = 10$$.

Найдем точки пересечения графиков:

• $$x^2 + 1 = 10$$
• $$x^2 = 9$$
• $$x = \pm 3$$

Площадь фигуры вычисляется как интеграл:

• $$S = \int_{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) dx$$
• $$S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx$$
• $$S = (9x - \frac{x^3}{3}) \Big|_{-3}^{3}$$
• $$S = (9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3}) - (9 \cdot (-3) - \frac{(-3)^3}{3})$$
• $$S = (27 - \frac{27}{3}) - (-27 - \frac{-27}{3})$$
• $$S = (27 - 9) - (-27 + 9)$$
• $$S = 18 - (-18) = 18 + 18 = 36$$

Ответ: Площадь равна 36.