1 Показать, что функция F (x) = e2x + x3 cos х является первообразной для функции f (x) = 2e2x + 3x² + sin x на всей числовой прямой.

Для того чтобы показать, что функция $$F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$$ является первообразной для функции $$f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$$ на всей числовой прямой, нужно доказать, что производная $$F(x)$$ равна $$f(x)$$.

Найдем производную $$F(x)$$.

• $$F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)'$$
• $$F'(x) = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)'$$

Используем правило дифференцирования сложной функции и степенной функции:

• $$(e^{2x})' = 2e^{2x}$$
• $$(x^3)' = 3x^2$$
• $$(-\cos x)' = \sin x$$

Подставим полученные результаты:

• $$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$$

Так как $$F'(x) = f(x)$$, функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.

Ответ: Функция $$F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$$ является первообразной для функции $$f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$$ на всей числовой прямой.