2. Для функции f (x) = 6(x + 1)² + 3(2x-1)² - 4x - cos 3x найдите первообразную, график которой проходит через точку М (0;-1).

Решение:

Найдём первообразную функции f(x):

• f(x) = 6(x + 1)² + 3(2x - 1)² - 4x - cos(3x)

Разложим функцию на составляющие и найдем первообразную для каждой части:

• Первообразная для 6(x + 1)²: 2(x + 1)³
• Первообразная для 3(2x - 1)²: (2x - 1)³
• Первообразная для -4x: -2x²
• Первообразная для -cos(3x): -1/3 sin(3x)

Соберём все вместе и добавим константу интегрирования C:

• F(x) = 2(x + 1)³ + (2x - 1)³ - 2x² - 1/3 sin(3x) + C

Теперь используем точку M(0; -1), чтобы найти значение C:

• F(0) = 2(0 + 1)³ + (2*0 - 1)³ - 2*0² - 1/3 sin(3*0) + C = -1
• 2(1)³ + (-1)³ - 0 - 0 + C = -1
• 2 - 1 + C = -1
• 1 + C = -1
• C = -2

Подставим значение C в первообразную:

• F(x) = 2(x + 1)³ + (2x - 1)³ - 2x² - 1/3 sin(3x) - 2

Ответ: F(x) = 2(x + 1)³ + (2x - 1)³ - 2x² - 1/3 sin(3x) - 2