1. Покажите, что функция F(x) = 2 e² + 2x² + sin x + 1 на всей числовой прямой является первообразной для функции f(x) = 4 2 + 6x² + cos x.

Решение:

Найдём производную функции F(x):

• F(x) = 2e^(2x) + 2x³ + sin(x) + 1
• F'(x) = (2e^(2x))' + (2x³)' + (sin(x))' + (1)'

Вспоминаем правила дифференцирования:

• (e^(kx))' = ke^(kx)
• (x^n)' = nx^(n-1)
• (sin(x))' = cos(x)
• (const)' = 0

Применяем эти правила:

• F'(x) = 2 * 2e^(2x) + 3 * 2x² + cos(x) + 0
• F'(x) = 4e^(2x) + 6x² + cos(x)

Сравниваем полученную производную с функцией f(x):

• f(x) = 4e^(2x) + 6x² + cos(x)

Видим, что F'(x) = f(x).

Вывод: Функция F(x) = 2e^(2x) + 2x³ + sin(x) + 1 является первообразной для функции f(x) = 4e^(2x) + 6x² + cos(x) на всей числовой прямой.