4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями : a) y = -x2-2x + 8 и осью ОХ; в) у = x² + 2 И y = 11.

Решение:

a) y = -x² - 2x + 8 и осью OX (y = 0)

Найдём точки пересечения:

• -x² - 2x + 8 = 0
• x² + 2x - 8 = 0
• (x + 4)(x - 2) = 0
• x = -4, x = 2

Вычислим интеграл:

• ∫(-x² - 2x + 8) dx от -4 до 2
• [-x³/3 - x² + 8x] от -4 до 2
• (-8/3 - 4 + 16) - (64/3 - 16 - 32)
• (-8/3 + 12) - (64/3 - 48)
• (-8/3 + 36/3) - (64/3 - 144/3)
• 28/3 - (-80/3)
• 108/3 = 36

Ответ: 36

b) y = x² + 2 и y = 11

Найдём точки пересечения:

• x² + 2 = 11
• x² = 9
• x = -3, x = 3

Вычислим интеграл:

• ∫(11 - (x² + 2)) dx от -3 до 3
• ∫(9 - x²) dx от -3 до 3
• [9x - x³/3] от -3 до 3
• (27 - 9) - (-27 + 9)
• 18 - (-18) = 36

Ответ: 36