Для передачи аварийных сигналов договорились использовать специальные цветные сигнальные ракеты, запускаемые последовательно. Одна последовательность ракет — один сигнал; в каком порядке идут цвета — существенно. Какое количество различных сигналов можно передать при помощи запуска ровно пяти таких сигнальных ракет, если в запасе имеются ракеты трёх различных цветов (ракет каждого вида неограниченное количество, цвет ракет в последовательности может повторяться)?

Решение:

Эта задача сводится к определению количества способов упорядочить 5 элементов, каждый из которых может принимать одно из 3 значений (цветов ракет), причём порядок важен и повторения возможны.

Для каждой из 5 позиций в последовательности сигнала мы можем выбрать одну из 3 цветов ракет.

Количество способов для первой ракеты = 3.

Количество способов для второй ракеты = 3.

Количество способов для третьей ракеты = 3.

Количество способов для четвертой ракеты = 3.

Количество способов для пятой ракеты = 3.

Общее количество различных сигналов равно произведению количества способов для каждой позиции:

\( 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3^5 \)

Вычислим значение:

\( 3^5 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 · 3 = 81 · 3 = 243 \)

Ответ: 243