651. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность (6ₙ) является геометрической прогрессией, и найдите сумму пер- вых п её членов, если: a) bₙ = 0,2 · 5ⁿ; b) bₙ = 3 · 2ⁿ⁻¹; B) bₙ = 3¹ ⁺ ⁿ; г) bₙ = 2ⁿ ⁺ ²

Question

Вопрос:

651. (Для работы в парах.) Докажите, что последовательность (6ₙ) является геометрической прогрессией, и найдите сумму пер- вых п её членов, если: a) bₙ = 0,2 · 5ⁿ; b) bₙ = 3 · 2ⁿ⁻¹; B) bₙ = 3¹ ⁺ ⁿ; г) bₙ = 2ⁿ ⁺ ²

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Давай докажем, что каждая из данных последовательностей является геометрической прогрессией, и найдем сумму первых n ее членов.

Геометрическая прогрессия - это последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (знаменатель прогрессии).

a) bₙ = 0.2 * 5ⁿ

Чтобы доказать, что последовательность геометрическая, нужно показать, что отношение (bₙ₊₁) / bₙ является константой.

bₙ₊₁ = 0.2 * 5ⁿ⁺¹

bₙ₊₁ / bₙ = (0.2 * 5ⁿ⁺¹) / (0.2 * 5ⁿ) = 5

Так как отношение постоянно и равно 5, это геометрическая прогрессия.

Найдем первый член: b₁ = 0.2 * 5¹ = 1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

Sₙ = b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

Sₙ = 1 * (5ⁿ - 1) / (5 - 1) = (5ⁿ - 1) / 4

б) bₙ = 3 * 2ⁿ⁻¹

bₙ₊₁ = 3 * 2⁽ⁿ⁺¹⁾⁻¹ = 3 * 2ⁿ

bₙ₊₁ / bₙ = (3 * 2ⁿ) / (3 * 2ⁿ⁻¹) = 2

Так как отношение постоянно и равно 2, это геометрическая прогрессия.

Найдем первый член: b₁ = 3 * 2¹⁻¹ = 3 * 2⁰ = 3

Сумма n первых членов:

Sₙ = 3 * (2ⁿ - 1) / (2 - 1) = 3 * (2ⁿ - 1)

в) bₙ = 3¹⁺ⁿ

bₙ₊₁ = 3¹⁺⁽ⁿ⁺¹⁾ = 3ⁿ⁺²

bₙ₊₁ / bₙ = 3ⁿ⁺² / 3ⁿ⁺¹ = 3

Так как отношение постоянно и равно 3, это геометрическая прогрессия.

Найдем первый член: b₁ = 3¹⁺¹ = 3² = 9

Сумма n первых членов:

Sₙ = 9 * (3ⁿ - 1) / (3 - 1) = 9 * (3ⁿ - 1) / 2

г) bₙ = 2ⁿ⁺²

bₙ₊₁ = 2⁽ⁿ⁺¹⁾⁺² = 2ⁿ⁺³

bₙ₊₁ / bₙ = 2ⁿ⁺³ / 2ⁿ⁺² = 2

Так как отношение постоянно и равно 2, это геометрическая прогрессия.

Найдем первый член: b₁ = 2¹⁺² = 2³ = 8

Сумма n первых членов:

Sₙ = 8 * (2ⁿ - 1) / (2 - 1) = 8 * (2ⁿ - 1)

Ответ: a) Геометрическая прогрессия, Sₙ = (5ⁿ - 1) / 4 б) Геометрическая прогрессия, Sₙ = 3 * (2ⁿ - 1) в) Геометрическая прогрессия, Sₙ = 9 * (3ⁿ - 1) / 2 г) Геометрическая прогрессия, Sₙ = 8 * (2ⁿ - 1)

Отлично! Ты успешно доказал, что все эти последовательности являются геометрическими прогрессиями, и нашел формулы для суммы их первых n членов. Продолжай в том же духе!

Ответ:

Похожие