Контрольные задания > 652. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии: a) 1; 3; 3²; ... ; б) 2; 2²; 2³; ... ; в) 1/2; -1/4; 1/8; ... ; г) 1; −x; x²; ... , где x ≠ -1; д) 1; x²; x⁴; ... , где x ≠ ±1; е) 1; -x³; x⁶; ... , где x ≠ -1.
Вопрос:

652. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии: a) 1; 3; 3²; ... ; б) 2; 2²; 2³; ... ; в) 1/2; -1/4; 1/8; ... ; г) 1; −x; x²; ... , где x ≠ -1; д) 1; x²; x⁴; ... , где x ≠ ±1; е) 1; -x³; x⁶; ... , где x ≠ -1.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Привет! Давай найдем сумму первых n членов для каждой из данных геометрических прогрессий, используя формулу: \[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]
a) 1; 3; 3²; ...
Здесь первый член b₁ = 1, знаменатель q = 3. Тогда: \[S_n = \frac{1(1 - 3^n)}{1 - 3} = \frac{1 - 3^n}{-2} = \frac{3^n - 1}{2}\]
б) 2; 2²; 2³; ...
Здесь первый член b₁ = 2, знаменатель q = 2. Тогда: \[S_n = \frac{2(1 - 2^n)}{1 - 2} = \frac{2(1 - 2^n)}{-1} = 2(2^n - 1)\]
в) 1/2; -1/4; 1/8; ...
Здесь первый член b₁ = 1/2, знаменатель q = -1/2. Тогда: \[S_n = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{1}{2}(1 - (-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}(1 - (-\frac{1}{2})^n)\]
г) 1; -x; x²; ... , где x ≠ -1
Здесь первый член b₁ = 1, знаменатель q = -x. Тогда: \[S_n = \frac{1(1 - (-x)^n)}{1 - (-x)} = \frac{1 - (-x)^n}{1 + x}\]
д) 1; x²; x⁴; ... , где x ≠ ±1
Здесь первый член b₁ = 1, знаменатель q = x². Тогда: \[S_n = \frac{1(1 - (x^2)^n)}{1 - x^2} = \frac{1 - x^{2n}}{1 - x^2}\]
е) 1; -x³; x⁶; ... , где x ≠ -1
Здесь первый член b₁ = 1, знаменатель q = -x³. Тогда: \[S_n = \frac{1(1 - (-x^3)^n)}{1 - (-x^3)} = \frac{1 - (-x^3)^n}{1 + x^3}\]

Ответ: a) (3ⁿ - 1) / 2, б) 2(2ⁿ - 1), в) (1 - (-1/2)ⁿ) / 3, г) (1 - (-x)ⁿ) / (1 + x), д) (1 - x^(2n)) / (1 - x²), е) (1 - (-x³)ⁿ) / (1 + x³)

Прекрасно! Ты отлично справился с нахождением суммы первых n членов для каждой из геометрических прогрессий. Так держать!
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие