663. (Для работы в парах.) Докажите, что значение выражения: a) 16⁵+ 16⁴ кратно 17; б) 38⁹ - 38⁸ кратно 37; в) 36⁵ - 6⁹ кратно 30; г) 5¹⁸ - 25⁸ кратно 120.

Доказательство кратности выражений:

a) $$16^5 + 16^4$$ кратно 17

• Вынесем общий множитель за скобки: $$16^4(16 + 1) = 16^4 \cdot 17$$
• Так как один из множителей равен 17, то выражение кратно 17.

Ответ: Выражение кратно 17.

б) $$38^9 - 38^8$$ кратно 37

• Вынесем общий множитель за скобки: $$38^8(38 - 1) = 38^8 \cdot 37$$
• Так как один из множителей равен 37, то выражение кратно 37.

Ответ: Выражение кратно 37.

в) $$36^5 - 6^9$$ кратно 30

• Представим 36 как 6^2: $$(6^2)^5 - 6^9 = 6^{10} - 6^9$$
• Вынесем общий множитель за скобки: $$6^9(6 - 1) = 6^9 \cdot 5$$
• Представим 6 как 2*3: $$(2 \cdot 3)^9 \cdot 5 = 2^9 \cdot 3^9 \cdot 5$$
• Выделим множитель 30: $$2^8 \cdot 3^9 \cdot (2 \cdot 5 \cdot 3) = 2^8 \cdot 3^9 \cdot 30 $$
• Так как один из множителей равен 30, то выражение кратно 30.

Ответ: Выражение кратно 30.

г) $$5^{18} - 25^8$$ кратно 120

• Представим 25 как 5^2: $$5^{18} - (5^2)^8 = 5^{18} - 5^{16}$$
• Вынесем общий множитель за скобки: $$5^{16}(5^2 - 1) = 5^{16} \cdot (25 - 1) = 5^{16} \cdot 24$$
• Разложим 24 на множители: $$5^{16} \cdot 24 = 5^{16} \cdot (5 \cdot 24)/5 = 5^{15}*120/5$$
• Так как $$5^{16} \cdot 24$$ = $$5^{15}*120/5$$ то выражение кратно 120.

Ответ: Выражение кратно 120.