665. (Для работы в парах.) Докажите, что: a) 78-77+ 76 делится на 43; 6) 213-210 - 29 делится на 13; в) 274-95 + 39 делится на 25; г) 164-213-45 делится на 110.

a) 7⁸ - 7⁷ + 7⁶ делится на 43

• Выносим общий множитель 7⁶ за скобки:

\[7^8 - 7^7 + 7^6 = 7^6(7^2 - 7 + 1) = 7^6(49 - 7 + 1) = 7^6 \cdot 43\]

• Так как один из множителей (43) делится на 43, то и всё выражение делится на 43.

б) 2¹³ - 2¹⁰ - 2⁹ делится на 13

• Выносим общий множитель 2⁹ за скобки:

\[2^{13} - 2^{10} - 2^9 = 2^9(2^4 - 2 - 1) = 2^9(16 - 2 - 1) = 2^9 \cdot 13\]

• Так как один из множителей (13) делится на 13, то и всё выражение делится на 13.

в) 27⁴ - 9⁵ + 3⁹ делится на 25

• Представим 27⁴ как (3³)⁴ = 3¹² и 9⁵ как (3²)⁵ = 3¹⁰:

\[27^4 - 9^5 + 3^9 = 3^{12} - 3^{10} + 3^9 = 3^9(3^3 - 3 + 1) = 3^9(27 - 3 + 1) = 3^9 \cdot 25\]

• Так как один из множителей (25) делится на 25, то и всё выражение делится на 25.

г) 16⁴ - 2¹³ - 4⁵ делится на 110

• Представим 16⁴ как (2⁴)⁴ = 2¹⁶ и 4⁵ как (2²)⁵ = 2¹⁰:

\[16^4 - 2^{13} - 4^5 = 2^{16} - 2^{13} - 2^{10} = 2^{10}(2^6 - 2^3 - 1) = 2^{10}(64 - 8 - 1) = 2^{10} \cdot 55\]

• Представим 55 как 5⋅11:

\[2^{10} \cdot 55 = 2^{10} \cdot 5 \cdot 11 = 2^9 \cdot (2 \cdot 5) \cdot 11 = 2^9 \cdot 10 \cdot 11 = 2^9 \cdot 110\]

• Так как один из множителей (110) делится на 110, то и всё выражение делится на 110.