760. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза меньше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок.

Пусть длина дна ящика равна 2x, тогда ширина дна равна x. Высота ящика равна 0,5 м. Площадь дна ящика равна 2x * x = 2x². Площадь боковых стенок равна 2 * (2x * 0,5) + 2 * (x * 0,5) = 2x + x = 3x.

Согласно условию задачи, площадь дна на 1,08 м² меньше площади боковых стенок. Составим уравнение:

$$ 3x - 2x^2 = 1.08 $$

Перенесем все члены в правую часть:

$$ 2x^2 - 3x + 1.08 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Умножим обе части уравнения на 25, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$ 50x^2 - 75x + 27 = 0 $$

Найдем дискриминант:

$$ D = (-75)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 27 = 5625 - 5400 = 225 $$

Найдем корни:

$$ x_1 = \frac{-(-75) + \sqrt{225}}{2 \cdot 50} = \frac{75 + 15}{100} = \frac{90}{100} = 0.9 $$ $$ x_2 = \frac{-(-75) - \sqrt{225}}{2 \cdot 50} = \frac{75 - 15}{100} = \frac{60}{100} = 0.6 $$

Если x = 0.9, то длина дна равна 2 * 0.9 = 1.8 м, ширина дна равна 0.9 м. Объем ящика равен 1.8 * 0.9 * 0.5 = 0.81 м³.

Если x = 0.6, то длина дна равна 2 * 0.6 = 1.2 м, ширина дна равна 0.6 м. Объем ящика равен 1.2 * 0.6 * 0.5 = 0.36 м³.

Проверим площадь боковых стенок:

Если x = 0.9: S = 3 * 0.9 = 2.7 м², а площадь дна равна 2 * (0.9)² = 1.62 м². Разница 2,7 - 1.62 = 1.08 м².

Если x = 0.6: S = 3 * 0.6 = 1.8 м², а площадь дна равна 2 * (0.6)² = 0.72 м². Разница 1,8 - 0.72 = 1.08 м².

Ответ: 0,81 м³ или 0,36 м³