755. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.

Пусть первое натуральное число будет x, тогда следующее число будет x + 1. Согласно условию, квадрат суммы этих чисел больше суммы их квадратов на 112. Составим уравнение:

$$ (x + (x + 1))^2 - (x^2 + (x + 1)^2) = 112 $$

Раскроем скобки:

$$ (2x + 1)^2 - (x^2 + x^2 + 2x + 1) = 112 $$ $$ 4x^2 + 4x + 1 - 2x^2 - 2x - 1 = 112 $$

Приведем подобные члены:

$$ 2x^2 + 2x = 112 $$

Разделим обе части уравнения на 2:

$$ x^2 + x = 56 $$

Перенесем все члены в левую часть:

$$ x^2 + x - 56 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225 $$

Найдем корни:

$$ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 15}{2} = \frac{14}{2} = 7 $$ $$ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8 $$

Так как числа натуральные, то x = 7.

Тогда числа будут:

$$ x = 7 $$ $$ x + 1 = 7 + 1 = 8 $$

Проверим: $$(7 + 8)^2 - (7^2 + 8^2) = 15^2 - (49 + 64) = 225 - 113 = 112$$.

Ответ: 7, 8