Доказать параллельность плоскостей \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\): 4) Дано: \(ABCD\) — пространственный четырёхугольник.

По рисунку штрихами отмечены середины сторон пространственного четырёхугольника: \(A_1\in DA\), \(B_1\in DB\), \(C_1\in DC\) и \(A_1B_1\), \(B_1C_1\), \(C_1A_1\) — отрезки, соединяющие середины сторон треугольников с общей вершиной \(D\). Уточним доказательство по треугольникам с вершиной \(D\).

В треугольнике \(DAB\) точки \(A_1\) и \(B_1\) — середины сторон, поэтому по теореме о средней линии \(A_1B_1\parallel AB\). В треугольнике \(DBC\) точки \(B_1\) и \(C_1\) — середины сторон, поэтому \(B_1C_1\parallel BC\).

Прямые \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\) пересекаются и лежат в плоскости \((A_1B_1C_1)\); им соответственно параллельны пересекающиеся прямые \(AB\) и \(BC\) плоскости \((ABC)\). Следовательно, плоскости параллельны.

Ответ: \((ABC)\parallel(A_1B_1C_1)\).