Вопрос:

4. Доказать тождество: (2 sin 2α + cos(3π/2 - α) - sin(π + α)) / (1 + sin(3π/2 - α)) = -2 sin α

Ответ:

Сначала упростим выражение в числителе и знаменателе. Используем формулы приведения: \(\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin \alpha\) \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha\) \(\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha\) Тогда выражение примет вид: \[\frac{2 \sin 2\alpha - \sin \alpha - (-\sin \alpha)}{1 - \cos \alpha} = \frac{2 \sin 2\alpha}{1 - \cos \alpha}\] Теперь раскроем \(\sin 2\alpha\) как \(2 \sin \alpha \cos \alpha\): \[\frac{2 \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}\] Чтобы доказать, что это равно \(-2 \sin \alpha\), рассмотрим выражение: \[\frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} = -2 \sin \alpha\] Умножим обе части на \(1 - \cos \alpha\): \[4 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha (1 - \cos \alpha)\] \[4 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha\] \[2 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha\] Не верно Преобразуем исходное выражение: \(\frac{2sin2α + cos(3π/2 - α) - sin(π + α)}{1 + sin(3π/2 - α)} = \frac{2sin2α - sinα + sinα}{1 - cosα} = \frac{2sin2α}{1 - cosα} = \frac{4sinαcosα}{1 - cosα}\) Нужно доказать, что \(\frac{4sinαcosα}{1 - cosα} = -2sinα\) => \(4sinαcosα = -2sinα(1 - cosα)\) => \(2cosα = -1 + cosα\) => \(cosα = -1\). Это не тождество, доказательство не верно Очевидно, что тождество неверно, поскольку равенство выполняется только при \(\cos \alpha = -1\). Ответ: Тождество **неверно**.
Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю

Похожие