7* Докажи или опровергни утверждение: a) За, b ∈ N: a³+b³ = 9; б) Эпе N: дробь 4n+1 сократима. 2

Ответ:

a) Докажем или опровергнем, что для \(a, b \in N\): \(a^3 + b^3 = 9\). Если a=1 и b=2, тогда \(1^3+2^3=1+8=9\). Если a=2 и b=1, тогда \(2^3+1^3=8+1=9\). Утверждение верно.

б) Докажем или опровергнем, что для \(n \in N\): дробь \(\frac{4n+1}{2}\) сократима.

Дробь сократима, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1.

Предположим, что дробь сократима, тогда \(4n+1\) должно делиться на 2. Однако, \(4n\) всегда четное, а \(4n+1\) всегда нечетное. Следовательно, дробь несократима.

Ответ: a) Утверждение верно, пример: a=1, b=2; б) Утверждение неверно, дробь несократима.