4 Докажите числовое равенство log4 (4√6 - 10)²+log8 (4√6 +10)³ = 2.

4. Докажите числовое равенство

$$log_4 (4\sqrt{6} - 10)^2 + log_8 (4\sqrt{6} + 10)^3 = 2$$

$$log_4 (4\sqrt{6} - 10)^2 = 2log_4 (4\sqrt{6} - 10)$$

$$log_8 (4\sqrt{6} + 10)^3 = 3log_8 (4\sqrt{6} + 10)$$

$$2log_4 (4\sqrt{6} - 10) + 3log_8 (4\sqrt{6} + 10) = 2$$

$$2log_{2^2} (4\sqrt{6} - 10) + 3log_{2^3} (4\sqrt{6} + 10) = 2$$

$$2 \cdot \frac{1}{2} log_2 (4\sqrt{6} - 10) + 3 \cdot \frac{1}{3} log_2 (4\sqrt{6} + 10) = 2$$

$$log_2 (4\sqrt{6} - 10) + log_2 (4\sqrt{6} + 10) = 2$$

$$log_2 ((4\sqrt{6} - 10)(4\sqrt{6} + 10)) = 2$$

$$log_2 ((4\sqrt{6})^2 - 10^2) = 2$$

$$log_2 (16 \cdot 6 - 100) = 2$$

$$log_2 (96 - 100) = 2$$

$$log_2 (-4) = 2$$

Но логарифм от отрицательного числа не определен. Следовательно, выражение не имеет смысла, и доказать равенство невозможно.

Проверим условие:

$$4\sqrt{6} - 10 \approx 4 \cdot 2,449 - 10 \approx 9,796 - 10 = -0,204$$

Так как под знаком логарифма стоит отрицательное число, то числовое равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно.