3. Решите неравенство: a) +3. - < 3; б) (log 3x)² + 2log 3 x − 3 ≤ 0. x+2 x+1 x

3. Решите неравенство:

а) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+2} + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} - \left(\frac{1}{2}\right)^x < 3$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^x < 3$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^x < 3$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x (\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 1) < 3$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x (\frac{1 + 6 - 4}{4}) < 3$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x (\frac{3}{4}) < 3$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x < 3 \cdot \frac{4}{3}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x < 4$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$

Так как основание $$\frac{1}{2} < 1$$, то знак неравенства меняется:

$$x > -2$$

Ответ: $$x > -2$$

---

б) $$(log_3 x)^2 + 2log_3 x - 3 \le 0$$

Пусть $$t = log_3 x$$, тогда:

$$t^2 + 2t - 3 \le 0$$

Решим квадратное уравнение $$t^2 + 2t - 3 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

$$t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$

Решением неравенства будут значения $$-3 \le t \le 1$$

Вернемся к замене:

$$log_3 x \ge -3$$ и $$log_3 x \le 1$$

$$x \ge 3^{-3}$$ и $$x \le 3^1$$

$$x \ge \frac{1}{27}$$ и $$x \le 3$$

С учетом ОДЗ $$x > 0$$:

$$\frac{1}{27} \le x \le 3$$

Ответ: $$\frac{1}{27} \le x \le 3$$