574 Докажите, что: а) h = ; б) = .

а) Доказать, что $$h = \frac{ab}{c}$$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$.

Также площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $$S = \frac{1}{2}ch$$.

Приравняем правые части равенств: $$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$$, $$ab = ch$$, отсюда $$h = \frac{ab}{c}$$, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что $$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$$.

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, следовательно, $$a = \sqrt{c \cdot a_c}$$, отсюда $$a^2 = c \cdot a_c$$ и $$b = \sqrt{c \cdot b_c}$$, отсюда $$b^2 = c \cdot b_c$$.

Выразим проекции катетов на гипотенузу $$a_c = \frac{a^2}{c}$$ и $$b_c = \frac{b^2}{c}$$.

Найдем $$ \frac{a^2}{a_c} = \frac{a^2}{\frac{a^2}{c}} = \frac{a^2 \cdot c}{a^2} = c$$ и $$\frac{b^2}{b_c} = \frac{b^2}{\frac{b^2}{c}} = \frac{b^2 \cdot c}{b^2} = c$$.

Так как, $$\frac{a^2}{a_c} = c$$ и $$\frac{b^2}{b_c} = c$$, то $$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.