572 Найдите: а) h, a и b, если b = 25, a=16; 6) h, a и b, если в= 36, a= 64; в) а, си ас, если в = 12, 6=6; г) в, с и б, если а = 8, а= 4; д) һ, b, ас и в, если a = 6, c = 9.

a) Дано: $$b_c = 25$$, $$a_c = 16$$. Найти h, a, b.

Известно, что высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, следовательно, $$h = \sqrt{b_c \cdot a_c}$$.

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, следовательно, $$a = \sqrt{c \cdot a_c}$$, $$b = \sqrt{c \cdot b_c}$$.

Гипотенуза равна сумме проекций катетов на гипотенузу: $$c = a_c + b_c$$.

1. Найдем гипотенузу: $$c = a_c + b_c = 16 + 25 = 41$$.
2. Найдем высоту: $$h = \sqrt{b_c \cdot a_c} = \sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{400} = 20$$.
3. Найдем катет а: $$a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{41 \cdot 16} = \sqrt{656} = 4\sqrt{41}$$.
4. Найдем катет b: $$b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{41 \cdot 25} = 5\sqrt{41}$$.

Ответ: $$h = 20$$, $$a = 4\sqrt{41}$$, $$b = 5\sqrt{41}$$.

б) Дано: $$b_c = 36$$, $$a_c = 64$$. Найти h, a, b.

Известно, что высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, следовательно, $$h = \sqrt{b_c \cdot a_c}$$.

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, следовательно, $$a = \sqrt{c \cdot a_c}$$, $$b = \sqrt{c \cdot b_c}$$.

Гипотенуза равна сумме проекций катетов на гипотенузу: $$c = a_c + b_c$$.

1. Найдем гипотенузу: $$c = a_c + b_c = 64 + 36 = 100$$.
2. Найдем высоту: $$h = \sqrt{b_c \cdot a_c} = \sqrt{36 \cdot 64} = 6 \cdot 8 = 48$$.
3. Найдем катет а: $$a = \sqrt{c \cdot a_c} = \sqrt{100 \cdot 64} = 10 \cdot 8 = 80$$.
4. Найдем катет b: $$b = \sqrt{c \cdot b_c} = \sqrt{100 \cdot 36} = 10 \cdot 6 = 60$$.

Ответ: $$h = 48$$, $$a = 80$$, $$b = 60$$.

в) Дано: $$b = 12$$, $$b_c = 6$$. Найти a, с и $$a_c$$.

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, следовательно, $$b = \sqrt{c \cdot b_c}$$, отсюда $$c = \frac{b^2}{b_c}$$.

Гипотенуза равна сумме проекций катетов на гипотенузу: $$c = a_c + b_c$$, отсюда $$a_c = c - b_c$$.

По теореме Пифагора $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$.

1. Найдем гипотенузу: $$c = \frac{b^2}{b_c} = \frac{12^2}{6} = \frac{144}{6} = 24$$.
2. Найдем проекцию катета а на гипотенузу: $$a_c = c - b_c = 24 - 6 = 18$$.
3. Найдем катет а: $$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$$.

Ответ: $$a = 12\sqrt{3}$$, $$c = 24$$, $$a_c = 18$$.

г) Дано: $$a = 8$$, $$a_c = 4$$. Найти b, с и $$b_c$$.

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, следовательно, $$a = \sqrt{c \cdot a_c}$$, отсюда $$c = \frac{a^2}{a_c}$$.

Гипотенуза равна сумме проекций катетов на гипотенузу: $$c = a_c + b_c$$, отсюда $$b_c = c - a_c$$.

По теореме Пифагора $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$.

1. Найдем гипотенузу: $$c = \frac{a^2}{a_c} = \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16$$.
2. Найдем проекцию катета b на гипотенузу: $$b_c = c - a_c = 16 - 4 = 12$$.
3. Найдем катет b: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$.

Ответ: $$b = 8\sqrt{3}$$, $$c = 16$$, $$b_c = 12$$.

д) Дано: $$a = 6$$, $$c = 9$$. Найти h, b, $$a_c$$ и $$b_c$$.

По теореме Пифагора $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$.

Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, следовательно, $$a = \sqrt{c \cdot a_c}$$, отсюда $$a_c = \frac{a^2}{c}$$, $$b = \sqrt{c \cdot b_c}$$, отсюда $$b_c = \frac{b^2}{c}$$.

Высота, проведенная к гипотенузе, равна $$h = \frac{ab}{c}$$.

1. Найдем катет b: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$.
2. Найдем проекцию катета а на гипотенузу: $$a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{6^2}{9} = \frac{36}{9} = 4$$.
3. Найдем проекцию катета b на гипотенузу: $$b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{(3\sqrt{5})^2}{9} = \frac{9 \cdot 5}{9} = 5$$.
4. Найдем высоту: $$h = \frac{ab}{c} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{5}}{9} = \frac{18\sqrt{5}}{9} = 2\sqrt{5}$$.

Ответ: $$h = 2\sqrt{5}$$, $$b = 3\sqrt{5}$$, $$a_c = 4$$, $$b_c = 5$$.