Докажите, что △ABC = △A₁B₁C₁, если у них: а) равны стороны AB и A₁B₁, равны медианы BM и B₁M₁ и ∠ABM = ∠A₁B₁M₁; б) равны стороны AB и A₁B₁, равны биссектрисы AK и A₁K₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

а) Рассмотрим △ABM и △A₁B₁M₁. По условию AB = A₁B₁, BM = B₁M₁ и углы между этими сторонами равны. Значит, △ABM = △A₁B₁M₁ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AM = A₁M₁ и ∠AMB = ∠A₁M₁B₁.

Поскольку CM и C₁M₁ — медианы, M и M₁ — середины AC и A₁C₁. Поэтому CM = AM, а C₁M₁ = A₁M₁, значит, CM = C₁M₁. Углы CMB и C₁M₁B₁ соответственно смежны с равными углами AMB и A₁M₁B₁, поэтому они равны. Тогда △CMB = △C₁M₁B₁ по двум сторонам и углу между ними. Обе пары соответствующих частей равны, следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁.

б) Так как AK и A₁K₁ — биссектрисы, ∠BAK = ∠B₁A₁K₁: каждый из этих углов равен половине соответствующего равного угла BAC и B₁A₁C₁. Вместе с AB = A₁B₁ и AK = A₁K₁ это даёт △ABK = △A₁B₁K₁ по двум сторонам и углу между ними. Значит, ∠AKB = ∠A₁K₁B₁.

Углы AKC и A₁K₁C₁ смежны с равными углами AKB и A₁K₁B₁, поэтому равны. Также ∠KAC = ∠K₁A₁C₁, поскольку это половины равных углов BAC и B₁A₁C₁. С учётом AK = A₁K₁ получаем △AKC = △A₁K₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁.